Καθαρίζουμε τις πατάτες και τις κόβουμε κομμάτια μικρά, και τα βάζουμε σε κατσαρόλα με κρύο νερό να τα σκεπάζει. Σκεπάζουμε την κατσαρόλα και βράζουμε τις πατάτες μέχρι να μαλακώσουν. Κατόπιν τις περνάμε μαζί με το νερό από τον μύλο των λαχανικών η τις λιώνουμε με το ραβδομπλέντερ.
Καθαρίζουμε το κρεμμύδι, το καρότο και το σέλινο και τα κόβουμε κομματάκια. Ζεσταίνουμε την φυτίνη και το λάδι μαζί σε τηγάνι και βάζουμε το κρεμμύδι σε μέτρια φωτιά και το σωτάρουμε μέχρι να ξανθύνει, συνεχίζουμε και προσθέτουμε τα καρότα και το σέλινο, και τα σοτάρουμε όλα μαζί μέχρι να μαλακώσουν.
Αδειάζουμε το περιεχόμενο του τηγανιού στην κατσαρόλα με τον πουρέ πατάτας. Βάζουμε σε μέτρια φωτιά την κατσαρόλα, προσθέτουμε την παρμεζάνα και τον κύβο διαλυμένο σε 400 γραμμάρια νερό Άλατοπιπερώνουμε και βράζουμε την σούπα για λίγα λεπτά μέχρι να γίνει σαν αραιή κρέμα.
Δεν πρέπει να την αφήσουμε να πήξει πολύ γιατί στο πιάτο θα πήξει και άλλο. Αποσύρουμε την σούπα από την φωτιά και την σερβίρουμε με ψιλοκομμένο μαϊντανό.